Quy tắc tính đạo hàm Đạo_hàm

Đạo hàm của hàm số có thể được tính theo định nghĩa bằng cách tìm tỉ sai phân của hàm và tính giới hạn của nó. Trong thực tế, từ một số hàm đơn giản, đạo hàm của các hàm số khác phức tạp được tính dễ dàng hơn bằng cách áp dụng các quy tắc nhất định.

Đạo hàm của hàm số đơn giản

Phần lớn phép tính đạo hàm được thực hiện bằng cách tìm đạo hàm của một vài hàm số đơn giản và phổ biến. Dưới đây là danh sách một vài hàm số đơn biến như vậy và đạo hàm của chúng.[4][5]

  • Đạo hàm lũy thừa: ( x n ) ′ = n x n − 1 {\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}}
  • Đạo hàm căn bậc hai: ( x ) ′ = 1 2 x {\displaystyle ({\sqrt {x}})'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
  • Đạo hàm của hàm số mũ và logarit:
( e x ) ′ = e x {\displaystyle (e^{x})'=e^{x}} ( a x ) ′ = a x ln ⁡ a {\displaystyle (a^{x})'=a^{x}\ln a} ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x ( x > 0 ) {\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}(x>0)} ( log a ⁡ x ) ′ = 1 x ln ⁡ a {\displaystyle (\log _{a}{x})'={\frac {1}{x\ln a}}}
  • Đạo hàm của hàm số lượng giác:
( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x {\displaystyle (\sin x)'=\cos x} ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x {\displaystyle (\cos x)'=-\sin x} ( tan ⁡ x ) ′ = 1 cos 2 ⁡ x {\displaystyle (\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}} ( cot ⁡ x ) ′ = − 1 sin 2 ⁡ x {\displaystyle (\cot x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}
  • Đạo hàm của hàm số lượng giác ngược:
( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 ( − 1 < x < 1 ) {\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}(-1<x<1)} ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 ( − 1 < x < 1 ) {\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}(-1<x<1)} ( arctan ⁡ x ) ′ = 1 1 + x 2 {\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}}

Đạo hàm của hàm hợp

Nhiều lúc việc tính đạo hàm bằng tỉ sai phân Newton rất phức tạp, ta có thể tránh điều này qua một số quy tắc sau:[6]

  • Đạo hàm của hằng số: ( C ) ′ = 0 {\displaystyle (C)'=0}
  • Quy tắc cộng: ( α f + β g ) ′ = α f ′ + β g ′ {\displaystyle (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'} với mọi hàm số f và g và mọi số thực α {\displaystyle \alpha } và β {\displaystyle \beta } .
  • Quy tắc nhân:
( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle (fg)'=f'g+fg'} với mọi hàm số f và g. ( α f ) ′ = α f ′ {\displaystyle (\alpha f)'=\alpha f'} với α {\displaystyle \alpha } là hằng số.
  • Quy tắc chia: ( f g ) ′ = f ′ g − f g ′ g 2 {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}} (g khác 0)
  • Quy tắc hàm hợp: Nếu f ( x ) = h ( g ( x ) ) {\displaystyle f(x)=h(g(x))} thì f ′ ( x ) = h ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) . {\displaystyle f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).}